Material de referência. Uma página por fórmula: o que conta, como montar, um exercício resolvido e quando usar. No fim, a tabela que separa cada par que costuma confundir. Este é o cartão de consulta.
Regra de ouro que atravessa tudo: decorar as 8 fórmulas não adianta, você aplica a certa no problema errado. Decore as perguntas (última seção). A fórmula é o que sai no fim.
A. nᵏ: arranjo com repetição
O que conta. k ações, cada uma escolhe entre n opções, e a opção volta pro estoque (pode repetir).
Como montar. Um fator por ação, cada fator é o cardápio: n × n × … × n (k vezes) = nᵏ.
Exercício. Placa com 3 letras (26 opções), pode repetir.
3 posições, 26 opções cada,
aaaé válida →26 × 26 × 26 = 26³ = 17.576.
Quando usar. O item escolhido não some: dígito, letra, face de dado, cara/coroa. Sinal: "cada uma com" ("5 perguntas, cada uma com 3 opções" → 3⁵). A base é o cardápio; o expoente é quantas vezes você age. Quando duvidar, escreva a multiplicação estendida, ela não deixa inverter base e expoente.
B. n × (n−1) × … (k fatores): arranjo
O que conta. Escolher k de n, a ordem importa, sem repetir.
Como montar. Comece em n, desça de 1 em 1, pare com k fatores. (O estoque desce porque o usado saiu.)
Exercício. De 8 corredores, o pódio (ouro, prata, bronze).
8 × 7 × 6 = 336. Trocar ouro e prata dá outro pódio, posição com nome.
Quando usar. Há posições com nome (cargos, medalhas, 1º/2º/3º) e não repete. Também: número, senha, placa, PIN são sempre ordenados, a posição de cada símbolo muda o valor.
C. n!: permutação
O que conta. Ordenar todos os n elementos.
Como montar. n × (n−1) × … × 2 × 1. É o arranjo com k = n (o estoque desce até zerar). Convenção: 0! = 1.
Exercício. 5 migrations, roda todas em sequência.
5! = 120.
Quando usar. "Arrume/ordene todos", "de quantas ordens". Se sobrou gente de fora (k < n), é arranjo (B), não permutação.
D. C(n,k) = arranjo ÷ k!: combinação
O que conta. Escolher k de n, sem ordem, sem repetir.
Como montar. O arranjo (B), dividido por k!, porque cada grupo foi contado k! vezes (as ordens internas dos escolhidos). k fatores em cima, k! embaixo, o mesmo k.
Exercício. De 8 devs, um comitê de 3.
(8 × 7 × 6) ÷ 3! = 336 ÷ 6 = 56. Trocar dois no comitê dá o mesmo comitê.
Quando usar. "Um grupo de", "uma comissão", "quais", sem papéis. Atalho: C(n,k) = C(n, n−k); se k passar da metade, conte o complemento.
E. C(n+k−1, k): estrelas e barras
O que conta. Distribuir k itens idênticos entre slots destinos distintos, sem ordem, com repetição.
Como montar.
estrelas (k) = quantos ITENS distribuo (o que se reparte)
cortes = slots − 1 (divisórias)
n = estrelas + cortes
resposta = C(n, k)
Exercício. 3 pães, padaria de 5 tipos (pode repetir).
estrelas 3, cortes
5−1=4, n3+4=7→C(7,3) = 35.
Quando usar. Itens idênticos + "quantos cada um leva" + mesma sacola. Disfarces: equação x+y+z=n (inteiros ≥ 0), "comprar X de Y tipos". Estrela é o que você leva (o que sai na sacola); slot é a prateleira de onde veio. O n nasce da soma, nunca vem do enunciado.
F. soma: princípio aditivo
O que conta. Uma escolha entre grupos que não se sobrepõem.
Como montar. |A| + |B| + ….
Exercício. Comer um prato: 4 quentes ou 3 frios.
4 + 3 = 7. Nenhum prato é quente e frio.
Quando usar. "Um só", "ou então", grupos disjuntos. Sem sobreposição, a soma crua já está certa, nada de −1 fantasma.
G. U − Ā: complemento
O que conta. Casos que satisfazem "pelo menos", contando o contrário e subtraindo.
Como montar. U (total sem restrição) menos Ā (o contrário da condição).
Exercício. PIN de 4 dígitos com pelo menos um repetido.
U = 10⁴ = 10.000.Ā= todos diferentes =10 × 9 × 8 × 7 = 5.040. Resposta:10.000 − 5.040 = 4.960.
Quando usar. A palavra "pelo menos". O contrário ("nenhum", "todos distintos") é sempre o lado fácil de contar, força cada posição a um único valor. Leu "pelo menos" → U − Ā.
H. |A| + |B| − |A∩B|: inclusão-exclusão
O que conta. Quantos estão em A ou B quando os grupos se sobrepõem.
Como montar. Soma os dois, subtrai a interseção uma vez (quem estava nos dois foi contado 2×).
Exercício. Turma de 40, sendo 18 que sabem TS, 15 Python, 7 os dois. Quantos sabem algo?
18 + 15 − 7 = 26.
Quando usar. "Os dois", "ambos", sobreposição. Quem foi contado 2×, tira 1×. Virada do avesso: se você tem |A∪B| e quer a interseção, isola |A∩B|. Teste de sanidade: as regiões (só A, os dois, só B, nenhum) somam o total.
A dica final: o que separa cada par
A confusão nunca é entre as 8 de uma vez. É sempre entre duas vizinhas. A pergunta única que separa cada par:
| Confundo… | Pergunta que decide | Sim → | Não → |
|---|---|---|---|
A vs B (nᵏ vs arranjo) |
o item pode repetir? | A | B |
| B vs D (arranjo vs combinação) | trocar dois muda o resultado? (tem posição?) | B | D |
| B vs C (arranjo vs permutação) | uso todos os elementos? | C | B |
| D vs E (combinação vs estrelas-barras) | pode repetir item? | E | D |
| F vs H (soma vs incl-exclusão) | os grupos se sobrepõem? | H | F |
| direto vs G (contar vs complemento) | tem a palavra "pelo menos"? | G | direto |
O procedimento que gera tudo
Rode nesta ordem:
- "pelo menos"? → G (complemento). Reescreve e volta ao passo 3.
- grupos se sobrepõem? → H (inclusão-exclusão).
- uma escolha ou várias? → F (soma) ou segue.
- repete? (o item some, por física ou por frase?)
- a ordem importa? (troca dois, muda?)
As perguntas 4 e 5 cruzadas dão as quatro células centrais:
| ordem importa | ordem não importa | |
|---|---|---|
| repete | A, nᵏ |
E, estrelas e barras |
| não repete | B, arranjo (C = n! se usa todos) |
D, combinação |
E as frases-âncora que cobrem os erros mais comuns:
- A base é o cardápio; o expoente é quantas vezes. (não inverter
nᵏ) - "Sem repetir" diz que desce, não diz que é combinação. (número/senha são sempre B)
- Divide-se só quando a troca não muda nada. (não dividir onde há cargo)
- Estrela é o que você leva; slot é onde cai. (não trocar os papéis em E)
- Leu "pelo menos" → complemento.
- Quem foi contado 2×, tira 1×. (inclusão-exclusão)