A operação que combina dois conjuntos e produz pares: a base de relações, funções e do JOIN do SQL, e por que uma query mal escrita trava o banco.

Cada conceito da matemática aqui vem com o mesmo conceito em JavaScript, lado a lado. Até agora as operações devolviam elementos do mesmo tipo dos originais. O produto cartesiano é diferente: ele combina dois conjuntos e produz pares. É o alicerce de relações, funções e do JOIN do SQL, e entender a fórmula dele te explica de uma vez por que uma query mal escrita trava o banco.

Este post cobre: produto cartesiano (A × B), sua cardinalidade, o par ordenado e a conexão com SQL, relações e funções. Fecha o tópico de conjuntos.

1. O que é o produto cartesiano

O produto cartesiano A × B é o conjunto de todos os pares ordenados com o primeiro elemento vindo de A e o segundo vindo de B:

A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}

Todas as combinações possíveis, uma a uma.

A = {1, 2}, B = {x, y}, então A × B = {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)}.

O processo: pega cada elemento de A e casa com cada elemento de B. O 1 casa com x e y; o 2 casa com x e y. Quatro pares. Em código, é um loop dentro do outro:

const A = [1, 2];
const B = ["x", "y"];

const produto = [];
for (const a of A) {
  for (const b of B) {
    produto.push([a, b]);
  }
}
console.log(produto);
// [ [1,'x'], [1,'y'], [2,'x'], [2,'y'] ]

Os dois for aninhados são a definição: "para cada a em A, para cada b em B, forme o par (a,b)".

2. Cardinalidade: a fórmula que conecta com contagem

Cada um dos |A| elementos vira |B| pares. Então:

|A × B| = |A| × |B|

No exemplo: 2 × 2 = 4 pares. Esse é o princípio da multiplicação da combinatória (o próximo material) aparecendo já aqui, não é coincidência, é a mesma ideia. E é essa fórmula que explica a explosão de linhas no SQL (seção 4).

3. O par é ordenado

Dentro do par, a ordem importa, o oposto de conjunto: (1, x) é diferente de (x, 1). Consequência: A × B ≠ B × A em geral.

B × A = {(x,1), (x,2), (y,1), (y,2)}

Mesmos ingredientes, pares diferentes, porque a posição tem significado (primeiro sempre de A, segundo sempre de B).

Cuidado, dois níveis de ordem. Não confunda "conjunto sem ordem" com "par sem ordem". O conjunto de pares continua sem ordem (tanto faz listar (1,x) antes ou depois de (2,y)). Mas dentro de cada par, a ordem é sagrada. São dois níveis diferentes.

Por que "cartesiano"? É o mesmo "cartesiano" do plano da escola: os pontos (x, y) são exatamente ℝ × ℝ, todos os pares de um real com outro. Descartes é o mesmo nome nos dois lugares.

4. Onde isso vive no seu dia a dia como dev

Esta é a parte que amarra o tópico inteiro com o que vem depois.

No SQL, é o CROSS JOIN. Cruzar duas tabelas sem condição produz o produto cartesiano, cada linha de uma com cada linha da outra. É por isso que um JOIN sem ON explode: se uma tabela tem 10 mil linhas e a outra 10 mil, o resultado tenta ter 10⁴ × 10⁴ = 10⁸ linhas. A fórmula |A| × |B| é literalmente o motivo de a query travar, você acabou de entender uma das causas mais comuns de query lenta.

É a base de relações e funções, os próximos dois temas. Uma relação é um subconjunto de um produto cartesiano (só alguns pares, não todos). Uma função é um tipo especial de relação. Sem produto cartesiano, não existe o resto: ele é o alicerce.

Combinações de configuração. "Todos os tamanhos × todas as cores" de um produto, "todos os dias × todos os horários" de uma agenda, sempre que você precisa de todas as combinações de duas listas, é produto cartesiano.